Las grandes ecuaciones de la Física y su evolución.

(Del Epílogo de Steven Weinberg de la obra Fórmulas elegantes)

Las ecuaciones de Maxwell para el campo electromagnético, las de Einstein para el campo gravitatorio, la ecuación de Schrödinger para la función de onda de la mecánica cuántica o la ecuación de Dirac para el electrón son verdaderos monumentos del progreso científico.

«Aunque dichas ecuaciones formarán siempre parte del conocimiento científico ha habido profundos cambios en nuestro conocimiento de los contextos en el marco de los cuales son válidas y de las razones por las que son válidas en esos contextos. Ya no pensamos en las ecuaciones de Maxwell como en una descripción de tensiones en el seno de un éter, como lo hacía Maxwell, o incluso una descripción exacta de los campos electromagnéticos, como hacía su colega físico Oliver Heaviside. Sabemos desde la década de 1930 que las ecuaciones que gobiernan los campos electromagnéticos contienen un número infinito de términos adicionales, proporcionales a potencias cada vez más altas de esos campos y ala frecuencia con la que dichos campos oscilan.» (A frecuencias muy altas puede conducir a que la luz se disperse «por la propia luz»).

No obstante, «la teoría de Maxwell es una teoría de campos eficaz, una teoría que constituye una buena aproximación sólo para campos que sean suficientemente débiles y que varíen de forma suficientemente lenta».

«Los términos adicionales que hay que añadir a las ecuaciones de Maxwell provienen de la interacción de los campos electromagnéticos con parejas de partículas y antipartículas cargadas que continuamente emergen y se aniquilan en el espacio vacío. En la década de 1930, los cálculos relativos a esos términos fueron desarrollados mediante la electrodinámica cuántica», teoría que «proviene de las ecuaciones de una teoría más fundamental, el modelo estándar de las partículas elementales, en una aproximación en la que se asume que todas las energías son demasiado pequeñas para dar lugar a los cuantos de los campos W y Z, los hermanos del campo electromagnético en dicho modelo estándar». (Y este modelo estándar se piensa que también es una aproximación de baja energía a una teoría aún más fundamental).

«Las ecuaciones de la relatividad general han sufrido una reinterpretación similar». Einstein partió, para deducirlas, de su principio de equivalencia entre la gravitación y la inercia, introduciendo una premisa ad hoc por simplicidad: «las ecuaciones debían ser del tipo conocido como ecuaciones diferenciales de segundo orden». (¿Se basó en el hecho de que la ecuación de Poisson es de segundo orden?).

«En la actualidad, la relatividad general es ampliamente, aunque no universalmente, considerada como una teoría de campos eficaz, aplicable sólo a distancias mucho mayores que 10 elevado a -33 centímtros, y para energías de las partículas muy inferiores a la equivalente a la masa en reposo de 10 elevado a 19 protones. Hoy nadie se tomaría en serio cualquier consecuencia de la relatividad general a distancias más cortas o para energías más altas.»

Pero, «el caso más drástico a este respecto lo constituye la ecuación de Dirac. No sólo se ha alterado nuestra forma de ver por qué una ecuación es válida y bajo qué condiciones lo es, sino que se ha operado un cambio radical en nuestra comprensión del propio objeto de aquella.»

Al intentar encontrar una versión de la ecuación de la función de onda de Schrödinger para la mecánica cuántica que fuese consistente con los principios de la relatividad especial, observó que la versión relativista de dicha ecuación de Schrödinger para una partícula sin espín (ecuación de Klein-Gordon) no era consistente con la conservación de la probabilidad -la probabilidad total de encontrar la partícula en alguna parte ha de ser el cien por cien-.

«Dirac logró elaborar una versión relativista de la ecuación de Schrödinger consistente con el principio de conservación de la probabilidad -lo que hoy conocemos como ecuación de Dirac-, pero que describía una partícula con un espín igual a un medio (en unidades de la constante de Planck), y no a cero.» (Sería la explicación de por qué el electrón tiene que tener un espín un medio).

Pero, «el problema es que no existe una teoría cuántica relativista como la que buscaba Dirac. La combinación de relatividad y mecánica cuántica conduce inevitablemente a teorías con un número ilimitado de partículas. En estas teorías, las verdaderas variables dinámicas de las que depende la función de onda no son las posiciones de una o varias partículas, sino campos del tipo del campo electromagnético de Maxwell. Las partículas son cuantos -paquetes de energía y momento- de esos campos. Un fotón es un cuanto de campo electromagnético, con espín de valor uno, y un electrón es un cuanto de campo del electrón, con espín igual a un medio.»

«Dirac había observado que su ecuación tenía soluciones con energía negativa». «Para evitar el colapso de todos los electrones atómicos hacia estados de energía negativa, supuso que esos estados estaban casi todos ocupados, con lo que el principio de exclusión de Pauli (que prohíbe que los electrones ocupen el mismo estado) preservaría la estabilidad de los electrones ordinarios de energía positiva. Los estados de energía negativa ocasionalmente vacíos serían interpretados como partículas de energía positiva y carga eléctrica opuesta a la del electrón, es decir, como antielectrones». (Los llamados positrones).

«Pero, desde la perspectiva de la teoría cuántica de campos, no existe razón alguna por la que una partícula de espín un medio deba tener una partícula distinta.»

«Entonces, ¿por qué la ecuación de Dirac funciona tan bien a la hora de predecir la estructura fina del hidrógeno y la intensidad del campo magnético del electrón? Resulta que la fusión de la mecánica cuántica con la relatividad especial requiere que un campo, cuyo cuanto tiene un espín de valor un medio e interacciona sólo con un campo electromagnético externo de tipo clásico, tenga que satisfacer una ecuación matemáticamente idéntica a la de Dirac, pero con una interpretación totalmente distinta. El campo no es una función de onda; no se trata de una magnitud numérica, como la función de onda de Schrödinger, sino de un operador mecánicocuántico que no tiene una interpretación directa en términos de probabilidad de encontrar la partícula en distintas posiciones. Al considerar la acción de ese operador sobre estados que contienen un único electrón, se puede calcular la intensidad del campo magnético de la partícula y las energías de los estados de dicha partícula en los átomos. Al ser la ecuación para el operador del campo del electrón matemáticamente la misma que la de Dirac para su función de onda, los resultados del cálculo resultan ser los obtenidos por Dirac.»

Como conclusión: «Debemos estar siempre abiertos a la reinterpretación. Las grandes ecuaciones de la física moderna son una parte permanente del conocimiento científico, algo que podría sobrevivir incluso a las bellas catedrales de los tiempos antiguos.»