Las motivaciones de un genio (III)

A continuación seguiré describiendo el esfuerzo intelectual desarrollado por Albert Einstein en la construcción de su teoría de la Relatividad General.

La divergencia de un campo vectorial en un punto del espacio representa el flujo de una magnitud física desde el interior de un pequeño volumen que rodea el punto, y mide cuánto se extiende un campo vectorial a partir de tal punto, que en el caso de un campo que actúa como una fuente determina la intensidad de ésta (lo contrario para el sumidero). La divergencia del campo electromagnético estático es la carga; la de un campo gravitatorio es la masa contenida dentro de la pequeña superficie que rodea al punto.

El concepto matemático de divergencia se relaciona con el concepto físico de ley de conservación porque, por ejemplo, si no hay una destrucción o creación de carga, la divergencia se anula, lo que es una forma de expresar la conservación de la carga eléctrica.

Pues bien, en la Relatividad General las derivadas se reemplazan por derivadas covariantes.

Específicamente, la “fuente” que aparece en el lado derecho de la ecuación del capo gravitatorio es el tensor energía-momento.

En particular, para el caso de este tensor energía-momento, en el determinante correspondiente, las tres primeras columnas codifican la densidad de las componentes del momento en un determinado punto, así como el flujo de cada una de las componentes en las tres direcciones del espacio. La divergencia de cada uno de estas columnas es el balance entre la variación temporal de una componente específica del momento dentro de un volumen pequeño alrededor del punto y el flujo del momento que entra y sale de dicho volumen. Si sobre el sistema no actúan fuerzas exteriores, la divergencia se anula, es decir, estamos ante la ley de conservación del momento. La divergencia de la cuarta columna representa la variación temporal de la energía contenida en el volumen anterior y su flujo en las diferentes direcciones del espacio. Si el sistema es cerrado, es decir, no entra energía de una fuente externa, la divergencia es cero y se tiene la ley de conservación de la energía.

El tensor de curvatura de Riemann es una combinación de los símbolos de Christoffel y sus derivadas.

Para obtener el campo gravitatorio libre, es decir, “sin un contenido material”, Einstein aplicó el llamado formalismo lagrangiano.

En este formalismo que comenzó con el trabajo de Leibnitz y su generalización posterior llevada a cabo por Euler, Lagrange y Hamilton, se caracteriza un proceso físico como el movimiento de una partícula con una magnitud denominada lagrangiana o hamiltoniana, que depende de los parámetros que describen el estado del sistema y sus derivadas con respecto a las coordenadas espaciotemporales. La dinámica queda caracterizada por un “principio variacional”, y no por una ecuación del movimiento (es decir, basada en el concepto newtoniano de fuerza). Según el procedimiento introducido por Hamilton, los puntos iniciales y finales del movimiento están fijados y las trayectorias posibles del movimiento entre estos puntos se caracterizan con cierta cantidad escalar denominada “acción”, cuyo valor es la integral temporal del lagrangiano. La trayectoria real de la partícula viene dada por el valor extremo (mínimo o máximo) de esta integral. A partir del “principio variacional” de Hamilton es posible obtener un conjunto de ecuaciones diferenciales para el movimiento, denominadas ecuaciones de Euler-Lagrange.

La formulación lagrangiana de las ecuaciones fundamentales de la Relatividad General, permitieron a Einstein obtener una demostración elegante de la compatibilidad de dichas ecuaciones con el requisito de la conservación de la energía-momento.

En la última parte (IV) de este artículo finalizaré la descripción del periplo intelectual del genio en el desarrollo de su teoría.

Anuncios

Responder

Por favor, inicia sesión con uno de estos métodos para publicar tu comentario:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s